.RU

Математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода 13. 00. 02 теория и методика обучения и воспитания (математика) - страница 3


Пусть в (S) вершины образуют: последовательность дуг

(14)

где . Тогда задан ориентированный маршрут, между вершинами v0 с vn, причем, вершины vi, i= называют в этом случае промежуточными, выражая это в виде: . Длина маршрута (14) и расстояние от вершины v0 до вершины vn определяются соотношениями: || = n; || = inf || , (15) где || множество длин маршрутов от вершины v0 до vn. Во-вторых, в сети (S) задается специальная система покрытий следующим образом. Для произвольной вершины T Th(S) определяется множество:

U(T)=TiT Ti=T,Ti;T Th(S),iN Th(S), (16)

элементами которого являются вершины, из которых вершина T достижима на орграфе (S). Множество U(T) называется областью доминирования вершины T в пространстве Th(S), а ее мощность |U(T)| определяет емкость области доминирования U(T). Пусть множество маршрутов от аксиом к вершине T. С помощью (15) определяются расстояние от до T и диаметр области U(T): |(;T)| = inf ||; d(U(T))=sup ||. (17)

В рамках концепции емкости и расстояния (17) определяется рекурсивная процедура формирования системы вложенных покрытий, реализующих принцип «матрешки» в структуре теории Th(S). Именно, выделяется счетное семейство подмножеств в цепи (18)

так, что порождается цепочка вложенных покрытий пространства Th(S) вида:

h(S)  …, (19)

где , h(S)=  = = . Цепь (19) задает алгоритм обобщения знаний в семантической сети (S): если в цепи (19) выбрано некоторое «звено» , то предметная область знаний Th(S) покрывается системой областей  и в каждой такой области доминантная вершина представляет обобщение остальных элементов области . В результате области классифицируются системой признаков, формирующих соответствующие понятия. В силу (19) в процессе обобщений реализуется принцип «матрешки» и уровень абстракции вводимых понятий постепенно нарастает, т.е. постижение знаний связано с развитием интеллекта.

Приведенные топологические соображения в пространстве Th(S) позволяют выделить классы задач оптимизации управления качеством системы знаний в процессе обучения математике в средней школе.

1. Оптимизация путем совершенствования аксиоматики теории Th(S).

Ярким примером в этом классе является геометрия, аксиоматика которой восходит к «Началам» Евклида. Критика евклидовой аксиоматики последовала практически сразу, но наиболее отчетливо прозвучала в XVII-XVIII вв. во Франции в учебниках геометрии А.Арно (1667) и А.М.Лежандра (1794); окончательную «ревизию» подвела аксиоматика Д.Гильберта (1899). Во 2-ой половине XIX в. взгляды на геометрию смещаются в область алгебраических форм: появляется аксиоматика, опирающаяся на инварианты группы движения (Ф.Клейн, Ф.Шур и др.), а также векторно-точечная аксиоматика Г.Вейля (1918). Однако, в школьной геометрии выдерживается евклидова линия и дидактические принципы наглядности и доступности превалируют над математическим принципом абстракции. Абстрактные представления в духе Ф.Клейна и Г.Вейля в школьной программе выражены в меньшей степени и появились сравнительно недавно в контексте известной образовательной концепции А.Н. Колмогорова (1967). Тем не менее, оценка В.Г. Болтянского различных систем аксиом геометрии определяет векторно-точечную аксиоматику Вейля «как направленную в будущее». Пример евклидовой геометрии показывает, как путем оптимизации аксиоматики происходит эффективное дидактическое воздействие на содержание предмета в целом.

2.Оптимизация дедуктивного вывода на семантических сетях. Пусть в сети (S) имеет место неформальный логический вывод:T. Процедура доказательства утверждения T Th(S) является упорядоченным множеством B(T)U(T) так, что область U(T) – есть объединение всех доказательств утверждения T. Пусть множество маршрутов от аксиом к вершине T в доказательстве B(T). Длина || доказательства B(T) представляет критический путь на B(T) и определяется рекурсивно:

||= max(||;…;||)+1= d(B(T)), (20)

где d(B(T)) – диаметр B(T), определяемый аналогично (17). Доказательство B(T) также характеризуется емкостью |B(T)| и, управляя этими параметрами вывода, в сети (S) рассматриваются задачи оптимизации качества знаний. Пусть B1(T);…;Bl(T) – доказательства утверждения T Th(S), имеющие длины ||;…;|| и емкости |B1(T)|;…;|Bl(T)|. Тогда в сети (S) определяются следующие задачи оптимизации:

B0(T)= opt(B1(T);…;Bl(T))|| = min(||;…;||), (21)

B0(T)= opt(B1(T);…;Bl(T)) | |= min(|B1(T)|;…;|Bl(T)|). (22)

Оптимизация (21);(22) проводилась на примере теоремы Пифагора путем анализа существующих в школьной геометрии вариантов доказательств Евклида, Бхаскара и векторного способа. Параметры доказательств теоремы Пифагора Т в аксиоматиках Евклида, Гильберта и Вейля представлены в табл. 1, откуда видно, что оптимизация доказательств по критериям (21);(22)

отдает предпочтение векторно-точечному доказательству в аксиоматике Вейля. Однако это приводит к повышению уровня абстракции в преподавании, что находится в обратной зависимости с принципами доступности и наглядности. Это обстоятельство нашло отражение в

Таблица 1. Метрические характеристики основных вариантов доказательств теоремы Пифагора в различных системах аксиом.

Доказательство

Аксиоматика

i





Евклид

Евклид (IV в. до н.э.)

0

10

36

Бхаскар-I

1

9

23

Бхаскар-II

Д. Гильберт (1899)

2

12

35

Векторно-точечное

Г. Вейль (1918)

3

2

12

отечественной учебно-методической литературе по геометрии, анализ которой за период 1768-2000 гг. показывает, что во 2-ой половине XIX в.

доказательство Евклида практически не встречается в школьных учебниках и используются, в основном, доказательства Бхаскара, которые более наглядны и доступны. Доказательства в духе Вейля в учебниках встречаются реже и появились в контексте образовательной концепции А.Н. Колмогорова (1967).

3. Ранжировка значимости элементов семантической сети и управление

креативными процессами. Креативные процессы в обучении представляют обобщение имеющихся знаний на метауровень посредством эвристики. Связь между знаниями метауровня и посылками известной предметной области знаний выражается разбиением: Th(S), где T(S) текущее состояние теории ; дополнение T(S) до Th(S), определяющее метауровень знаний, для которого отношение инцидентности в сети устанавливается эвристически.

Процедура оптимизации данного процесса исходит из представления о значимости вершин семантической сети, для чего вводится логическая дистанция от аксиом до вершины Т :(||;…;||), (23)

где ||;…;|| длины доказательств утверждения T. Значимость в пространстве Th(S) задается в виде отношения доминирования по Парето:

, (24) где хотя бы одно из неравенств выполняется строго. По определению (24), утверждение Т более значимо, чем , и его смысл в том, что ^ Т представляет более крупный узел сети (S) (первое неравенство в (24)), расположенный ближе к ее источникам (второе неравенство в (24)).

Обоснование критерия значимости (24) проводится на языке теории случайных процессов. Установлено, что креативный поиск в пространстве Th(S) представляет неоднородный ветвящийся марковский процесс Th(S;t) с непрерывным временем t0 и счетным множеством состояний, моменты переходов между которыми случайным образом распределены на интервале t>0, причем, более значимые положения теории Th(S) имеют более высокие вероятности переходов между состояниями процесса Th(S;t). Таким образом, реализуется оптимальное управление процессом креативного поиска в процессе обучения на основе стратегии «больших узловых точек» в сети (S) или GMP-стратегии (great main points), которая предполагает исследование, исходящее из достаточно значимых положений T01;…;T0k Th(S), выбранных по критерию (24). Индуктивная гипотеза Н, выдвинутая на основе этих положений, имеет больше шансов «материализоваться» как логическое обобщение исходных посылок. Существование «узловых точек» созвучно современным психологическим концепциям в области теории интеллекта (Холодная М.А.; Glaser R., 1984), по которым «узловые точки», обладая повышенной чувствительностью к семантическим воздействиям, могут качественно изменять характер понимания проблемной ситуации.

GMP-стратегия и проблемы Гильберта. Наглядной иллюстрацией оптимизации креативного поиска в рамках GMP-стратегии является решение известных проблем теории чисел, а также проблем Гильберта (1900), о которых точно известна хронология их постановки и решения. Анализ показывает, что, если период разрешения проблем Гольдбаха, Варинга и Ферма в теории чисел составляет сотни лет, то проблематика Д.Гильберта при своем разрешении показывает уникальный результат, который оказывается на 1-2 порядка меньше. Важно отметить, что выбор 23 проблем из широкого многообразия математической проблематики рубежа XIX-XX вв. подразумевал вполне определенные «правила селекции», смысл которых, по сути, сводится к реализации GMP-стратегии.

GMP-стратегия – как выражение концепции канона. Канон понимают как формирующее начало, генезис которого сводится к последовательному созданию устойчивых семантических образований и представляет некий алгоритм обучения, проводимый в рамках GMP-стратегии. Для примера рассматривается теория государства, генезис которой исходит из канонов демократии, и GMP-стратегия связана с аксиоматизацией принципа социальной справедливости в государстве, который определяется принятием решения большинством голосов. Развитие канона демократии в русле аксиоматической теории привело к созданию теории кооперативных игр, элементы которой представляют содержание школьного факультатива по обществознанию (профильный уровень), реализующего канал эффективного обучения математике в гуманитарной области знаний

GMP-стратегия – как выражение идеи изоморфизма. В.Г.Болтянский при рассмотрении принципа наглядности пришел к формуле: наглядность = изоморфизм + простота. Сценарий GMP-стратегии в рамках концепции изоморфизма в процессе обучения демонстрируют следующие примеры:

концепция изоморфизма при решении текстовых задач школьной алгебры: из множества текстовых задач выделяются три класса задач – о заполнении резервуаров, на движение и на совместно произведенную работу, определяющие параметры и отношения которых связаны взаимно однозначным соответствием, позволяющим унифицировать методы решения текстовых задач в 9-м классе средней школы.

операторная версия комплексных чисел в планиметрии: в данном случае при решении планиметрических задач в рамках элективного курса (10-11классы) используется изоморфизм между группой операторов поворота векторов плоскости и унимодулярной группой комплексных чисел , где С – поле комплексных чисел; z.

концепция изоморфизма и задачи линейного программирования(ЛП): проводится на междисциплинарном уровне обучения в рамках дисциплины по выбору специальности 032100.00 и, в усеченной версии элективного курса для 10-11 классов профильного экономического и физического обучения в школе, на примере задач ЛП; этот класс традиционно включает задачи экономического характера (транспортная задача, задача о планировании производства и др.), пополняется задачами физико-технического содержания (оптимизация освещенности, процесса электролиза и др.) и обобщается задачами нелинейной оптимизации, которые сводятся к линейным моделям.

GMP-стратегия при реализации интегрированного обучении на основе концепции центризма проводится, исходя из архимедовой концепции барицентра (центра тяжести).


^ Концепция барицентра при определении объемов многогранников и круглых тел на уроках геометрии. Речь идет о проведении лабораторных работ на уроках геометрии, в рамках которых с помощью взвешивания определяются формулы для объемов призмы, пирамиды, конуса и шара. В частности, для определения объема шара, путем взвешивания (рис.2) убеждаемся, что два цилиндра уравновешиваются тремя шарами. Тогда, если mц; mш – массы цилиндра и шара, то 2mц=3mш , т.е.2Vц=3Vш, т.к. тела выполнены из одинакового материала. По формуле объема цилиндра имеем Vц=Sh=R22R=2R3=1,5Vш и , где R – радиус шара, т.е. путём взвешиваний устанавливается формула для вычисления объёма шара.

^ Концепция барицентра в популяционной генетике. Концепция барицентра в этом случае проводится в виде барицентрических координат, которые позволяют описывать передачу наследственных признаков от поколения к поколению в рамках законов Г.Менделя, что позволяет определить равновесные состояния популяции, характеризуемые законом Харди-Вайнберга. Данный вариант GMP-стратегии междисциплинарного обучения сводит сразу три дисциплины; механику, геометрию и биологию.

^ Концепция колориметрического барицентра (КБЦ) и феномены психологии творчества и восприятия живописных произведений. Реализация GMP-стратегии в этом случае сводится к формализации живописного образа в виде поверхности изображения Im, с каждой точкой которой связан оттенок цветового пространства F, так, что образуется некоторое подмножество декартова произведения ImF, представляющее смысловое пространство рассматриваемого живописного образа, являющееся объектом восприятия. Концепция КБЦ предусматривает построение отображения: ImF W, которое каждой точке живописного образа, в зависимости от ее цвета, ставит в соответствие неотрицательное число из множества W, рассматриваемое в качестве «колориметрической» массы данной точки. Данное отображение определяет структурно-колориметрический спектр живописного образа, по которому, на основе формул механики, находится его КБЦ, с его положением связаны особенности композиции данного произведения. Исследования проведены с помощью специальной ИКТ (Фирстов В.В., 2006), реализующей прямую загрузку больших массивов анализируемого живописного материала с порталов ведущих картинных галерей мира. Как показал компьютерный анализ 1174 картин различных жанров, школ и эпох, концепция КБЦ отражает цветовой баланс живописного произведения и выражает каноны эстетики в живописном творчестве. Материалы этого исследования внедрены на кафедре культурологии Саратовского государственного технического университета профессором А.В.Волошиновым в виде лекций и практических занятий, а также в процессе руководства курсовыми и дипломными работами студентов. Цели такого обучения в области эстетики ясно обозначил Платон, который в IV в. до н.э. отмечал, «как легко отыскать примеры прекрасного и как трудно объяснить, почему они прекрасны». Тем не менее, в античные времена зародилась идея о том, что у колыбели гуманитарного знания все-таки стояли рациональные принципы.

^ В четвертой главе «Опыт управления креативными процессами при формировании умений и навыков математического исследования в учебном процессе» демонстрируется методика проведения GMP-стратегии – как одной из концепций в дидактике математического творчества, которая схематично представлена на рис.3.




В учебном процессе этот аспект отрабатывался на основе авторских монографий [1-4], материал которых составил содержание элективных курсов профильного уровня обучения математике и, в расширенной версии, тематику спецкурсов, а также курсовых и дипломных работ для студентов специальности 032100.00. Ниже даны контуры методики построения спецкурсов на основе GMP-стратегии, исходя из теоремы Пифагора.

Задача Пифагора: новые интерпретации и генеалогия пифагоровых троек.

Исходный пункт. Задача Пифагора о нахождении натуральных решений

уравнения x2+y2=z2, называемых пифагоровыми тройками.


Этап 1. Общее решение задачи Пифагора дано Евклидом и имеет вид:

x=2ab; y=(); z=(, (25)

где a;bN, b>a и пара (b;a) образует так называемую примитивную пару взаимно простых чисел разной четности.

Этап 2. Дается изящное решение задачи Пифагора, опирающееся на свойства поля комплексных чисел. Пусть (b;a) – примитивная пара, с которой в комплексной плоскости проводятся следующие преобразования:

(26)

где x;y;z совпадают с решением (25) и представляют пифагорову тройку.

Этап 3. Имеет место взаимно однозначное соответствие (x;y;z)→ (b;a), которое в рамках (25);(26) при геометрическом толковании операций с комплексными числами приводит к оригинальному решению задачи Пифагора путем построения с помощью циркуля и линейки.

Этап 4. Обобщение решения (25) получается, если его представить в виде: z – y = 2; z + y = 2. (27) Система (27) определяет два семейства парабол на конусе, которые образуют сеть, узлы которой определяют пифагоровы тройки с координатами (x;y;z).

Далее, в расширенной версии для студентов специальности 032100.00, дается полугрупповое обобщение задачи Пифагора, которое приводит к изящной интерпретации решения в виде трихотомического дерева, определяющего генеалогию пифагоровых троек.


Обобщенные пифогоровы построения (ОПП).

Исходный пункт. Конфигурация квадратов в виде «пифагоровых штанов» используемая Евклидом при доказательстве теоремы Пифагора.

Этап 1.От этой конфигурации строится неограниченная сеть квадратов, ,
представляющая ОПП, топологию которых определяет бесконечный граф, являющийся одновременно эйлеровым и гамильтоновым (рис.4).

Этап 2. В сети ОПП выделяются 6 неограниченных серий квадратов, в каждой из которых соответствующие стороны квадратов связаны линейным рекуррентным уравнением 2-го порядка вида: un+2=5un+1 – un . (28)

Этап 3. Одноимённые вершины квадратов соответствующих серий ОПП (например, A1; A3; A5; …; A2n-1,B1; B3; …; B2n-1, B2; B4; …; B2n и т.п., располагаются на гиперболе и всего, таким образом, получается 12 гипербол, имеющих общий центр в точке пересечения медиан ΔA1B1C1.


Д
алее, в расширенной версии для студентов специальности 032100.00:

Этап 4. Решение уравнения (28) представляется в виде дерева с переменной ветвистостью, которое описывается в виде ультраметрического

пространства (С.Л.Гинзбург, 1989), фрактальная размерность которого равна (1/ln5)ln(0,5(+5))0,9735, при топологической размерности 0.

Этап 5. Устанавливается наличие общей связи между рекуррентными уравнениями 2-го порядка Un+2=pUn+1+qUn и коническими сечениями, включая вырожденные случаи. В частности, при

mezhdu-strok.html
mezhdunarodnaya-bezopasnost-i-globalnie-ugrozi-chast-2.html
mezhdunarodnaya-bezopasnost-i-globalnie-ugrozi-chast-7.html
mezhdunarodnaya-ekonomicheskaya-integraciya-na-primere-nafta.html
mezhdunarodnaya-ekonomika-osnova-razvitiya-chast-5.html
mezhdunarodnaya-ekonomika.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/101-lobashova-i-v-vozrastnaya-anatomiya-fiziologiya-i-gigiena-204-stranica-2.html
  • notebook.bystrickaya.ru/informaciya-o-hode-vipolneniya-postanovleniya-pravitelstva-habarovskogo-kraya-ot-22-03-2011-70-pr-za-i-kvartal-2011-g.html
  • notebook.bystrickaya.ru/itogi-pozharoopasnogo-perioda-2011-goda-i-zadachi-territorialnih-podsistem-rschs-subektov-rossijskoj-federacii-vhodyashih-v-centralnij-federalnij-okrug-po-podgotovke-k-otopitelnomu-sezonu-2011-2012-godov.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/o-perevode-na-russkij-yazik-prilagatelnogo-pblico-t-a-fituni-posobie-po-ekonomicheskomu.html
  • university.bystrickaya.ru/gazovaya-hromatografiya-chast-4.html
  • studies.bystrickaya.ru/iziskaniya-i-proektirovanie-avtomobilnih-dorog.html
  • institute.bystrickaya.ru/glava-iz-avtobiograficheskoj-povesti-avtobiografii-bibliografii-yubilei-pamyatnie-dati.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/ptica-s-ozornim-hoholkom-rasskaz-o-babakutah.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/prostranstvennaya-struktura-populyacii.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/lekciya-modelirovanie-biznes-processov-sredstvami-bpwin-chast-2-stoimostnij-analiz-obekt-zatrat-dvigatel-zatrat-centr-zatrat.html
  • write.bystrickaya.ru/gnosticheskij-etos-lyubvi-gnosticheskij-etos-i-nravstvennaya-metafizika-l-p-karsavina.html
  • klass.bystrickaya.ru/badarlamasi-sillabusi-050113.html
  • report.bystrickaya.ru/iii-podrobnaya-informaciya-ob-emitente-456010-rossiya-chelyabinskaya-oblast-g-asha-mira-9-informaciya-soderzhashayasya.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/zayavleniya-mezhpravitelstvennih-i-nepravitelstvennih-organizacij-postoyannij-komitet-po-avtorskomu-pravu-i-smezhnim.html
  • essay.bystrickaya.ru/eksternalisti-predislovie2-viderzhki-iz-uchebnogo-plana-kursa6.html
  • occupation.bystrickaya.ru/nekotorie-razmishleniya-o-zhenskoj-lichnosti-vchera-segodnya-zavtra.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/metodicheskie-rekomendacii-po-organizacii-izucheniya-disciplini-metodicheskie-rekomendacii-materiali-prepodavatelyu-metodicheskie-rekomendacii-dlya-obuchayushihsya-s-ukazaniem-rekomenduemogo-rezhima-i-haraktera.html
  • university.bystrickaya.ru/eta-kniga-voznikla-na-osnove-kursa-lekcij-prochitannih-avtorom-v-1994-95-gg-v-universitete-istorii-kultur-uavtora-davno-bila-misl-popitatsya-svyazno-i-obektivno-izlozhit-istoriyu-vozniknoveniya-togo-stranica-18.html
  • college.bystrickaya.ru/2-sravnite-politicheskij-stroj-vladimiro-suzdalskogo-knyazhestva-i-novgorodskoj-zemli-v-hp1-h1u-vv.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/razdel-1-vvedenie-v-pedagogicheskuyu-psihologiyu-visshego-professionalnogo-obrazovaniya.html
  • teacher.bystrickaya.ru/glava-6-yuridicheskie-lica-1-obshie-polozheniya-i-grazhdanskoe-pravo-otrasl-rossijskogo-prava-4-obshaya-harakteristika.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/tematicheskoe-planirovanie-zanyatij-v-3-klasse-osnovnaya-obrazovatelnaya-programma-obrazovatelnogo-uchrezhdeniya-nachalnaya.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/pravila-oformleniya-rasporyaditelnih-dokumentov-o-vnesenii-izmenenij-i-ili-dopolnenij.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/mareev-s-n-mareeva-e-v-istoriya-filosofii-obshij-kurs-uchebnoe-posobie.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/vliyanie-modernizacionnih-processov-na-pravovoe-povedenie-i-prestupnost-krestyanstva-yuzhnogo-zauralya-vo-vtoroj-polovine-xix-nachale-xx-veka.html
  • pisat.bystrickaya.ru/sreda-obitaniya-obshaya-biologiya.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/istoriya-kazahstana-kamennij-vek-i-epoha-bronzi.html
  • laboratory.bystrickaya.ru/v-19-tankovij-as-1-mihael-vittmann-m-yauza-press-2009-320-s-stranica-16.html
  • college.bystrickaya.ru/23-vidi-deyatelnosti-na-etape-biznes-modelirovaniya-e-b-zolotuhina-metodicheskaya-razrabotka-osnovi-biznes-modelirovaniya.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/programma-vstupitelnogo-ekzamena-po-specialnosti-08-00-13-ekonomiko-matematicheskie-metodi.html
  • desk.bystrickaya.ru/perechen-prakticheskih-rabot-rabochaya-programma-po-literature-stupen-obucheniya-klass.html
  • crib.bystrickaya.ru/ii6-p-r-e-p-r-i-n-t-i-otdeleniya-rossijskoj-akademii-nauk-osnovnie-napravleniya-issledovanij-bibliografiya-i-nauchno-biograficheskie.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/obmanshik-gazetchik-i-legkovernij-chitatel.html
  • shpora.bystrickaya.ru/zamestitel-direktora-po-svyazyam-s-obshestvennostyu-kvalifikacionnij-spravochnik-dolzhnostej-rukovoditelej-specialistov.html
  • control.bystrickaya.ru/ekstremalnaya-psihologiya.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.