.RU

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ РЕГАТА - Iv магнитогорский турнир юных математиков





^ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ РЕГАТА

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)


1.1. Найдите a6 + 3a2b2 + b6, если а2 + b2 = 1.


1.2. Две стороны четырехугольника равны 1 и 4. Одна из диагоналей делит его на два равнобедренных треугольника и имеет длину 2. Найдите периметр четырехугольника.


1.3. После игры в футбол (два тайма по 45 минут) ребята делились впечатлениями.

Петя: «Я забил на один гол больше, чем все остальные, вместе взятые».

Миша: «Во втором тайме было забито вдвое больше голов, чем в первом».

Олег: «Из всех мячей, забитых в первом тайме, я забил половину».

Верно ли, что каждый из них сказал правду?


Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)


2.1. Докажите, что .


2.2. Из вершины А параллелограмма АВСD проведены высоты AK и AM. Может ли оказаться так, что точка K лежит на стороне параллелограмма, а точка М – на продолжении стороны?


2.3. Двое рабочих могут успеть за день либо напилить пять поленниц дров, либо наколоть восемь таких поленниц. Какое наибольшее количество дров они могут напилить, чтобы успеть наколоть их в тот же день?


Третий тур (15 минут; каждая задача – 8 баллов)


3.1. Найдите все натуральные значения n, для которых число n5 + n + 1 является простым.


3.2. В треугольнике АВС: A = 15, B = 30. Через точку С проведен перпендикуляр к АС, который пересекает сторону АВ в точке М. Найдите ВС , если АМ = 5.


3.3. Из квадрата со стороной 5 клеток вырезали одну клетку, после чего его разрезали на 8 одинаковых прямоугольников размером 31. Какую клетку изначально вырезали из квадрата?


Четвертый тур (20 минут; каждая задача – 9 баллов)


4.1. Решите уравнение: 2x2 + 5y2 – 4xy – 2y – 4x + 5 = 0.


4.2. В прямоугольнике АВСD точка М – середина стороны ВС, точка N – середина стороны СD, Р – точка пересечения отрезков DМ и ВN. Докажите, что МАN = ВРМ.


4.3. У Золотой рыбки записаны и перенумерованы подряд все знакомые. Половина из них – щуки, треть – окуни, а все знакомые с номерами, делящимися на 4, – караси. Сколько всего знакомых у Золотой рыбки?


^ РЕЗУЛЬТАТЫ РЕГАТЫ


Команда

1.1

1.2

1.3

2.1

2.2

2.3

3.1

3.2

3.3

4.1

4.2

4.3

Сумма

Место

школа 16

0

0

0

-

0

0

0

0

2

0

0

-

2




МГМЛ

0

1

0

7

0

1

2

0

2

0

0

0

13




школа 1

0

0

0

0

7

0

0

0

2

0

7

1

17

III

сборн.8-1

-

2

-

0

0

6

1

-

2

0

-

3

14




сборн.8-2

0

2

0

7

7

0

0

0

2

9

0

1

28

II

сборн.8-3

0

2

0

-

-

-

1

0

2

0

0

1

6




школа 14

0

-

-

0

0

0

0

0

2

0

0

1

3




школа 3

0

-

0

0

0

0

2

0

2

0

0

0

4




школа 28

0

1

0

0

0

-

0

0

2

0

0

0

3




школа 48

0

-

-

0

0

6

0

0

2

0

0

3

11




Магн. лицей

6

2

6

7

7

6

1

0

2

9

9

6

61

I

школа 51

-

-

-

0

0

0

0

0

2

0

-

0

2




школа 58

0

0

-

0

0

0

0

0

2

0

0

0

2




школа 8

1

0

0

0

7

3

0

0

2

0

0

0

13




сборн. 7-1

0

0

0

0

0

6

1

0

2

0

0

1

10




школа 56

6

1

5

0

0

6

1

0

2

9

0

1

31

II


РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РЕГАТЫ


1.1. Ответ. 1.

Решение.

Первый способ. a6 + 3a2b2 + b6 = (а2 + b2)( а4 – a2b2 + b4) + 3a2b2 = а4 – a2b2 + b4 + 3a2b2 = а4 + +2a2b2 + b4 = (а2 + b2)2 = 1.


Второй способ. a6 + 3a2b2 + b6 = (а2 + b2)3 – 3a4b2 – 3a2b4 + 3a2b2 = (а2 + b2)3 – 3a2b2(а2 + b2) + +3a2b2 = 1 – 3a2b2 + 3a2b2 = 1.


Третий способ. Так как b2 = 1 – а2, то a6 + 3a2b2 + b6 = a6 + 3a2(1 – а2) + (1 – а2)3 = a6 + 3a2 – +3a4 + 1 – 3a2 + 3a4 – a6 = 1.


1.2. Ответ. 11.

Решение.

Пусть данные стороны четырехугольника АВСD – соседние, например, АВ и ВС. Тогда, используя неравенство треугольника, получим, что диагональю длины 2 может быть только BD. Применяя неравенство треугольника (или условие того, что три точки лежат на одной прямой) для треугольников АВD и CBD, получим, что AD = BD = 2; DC = BC = 4. Значит, периметр АВСD равен 11. Если данные стороны – противолежащие, например, АB и СD то, рассуждая аналогично, приходим к такому же четырехугольнику.


1.3. Ответ. Нет.

Решение.

Предположим, что все высказывания – истинны, тогда, из того, что сказал Олег следует, что в первом тайме забито четное количество голов, тогда, из высказывания Миши следует, что количество голов, забитых во втором тайме также четно, значит, и общее количество забитых мячей – четно. Вместе с тем, из слов Пети можно определить, что количество забитых мячей – нечетно. Таким образом получено противоречие, и кто-то из мальчиков сказал неправду.


2.1. Доказательство.

Так как , , …, , то .


2.2. Ответ. Да, может. (см. рис.).




Отметим, что в любом параллелограмме, не являющемся прямоугольником, основания высот, проведенных из вершины острого угла, лежат на продолжениях сторон, а основание одной из высот, проведенных из вершины тупого угла, может попасть на продолжение стороны параллелограмма, если угол между меньшей диагональю и одной из сторон – тупой.

 

2.3. Ответ. поленницы.

Решение.


Первый способ. Пусть x – искомое количество дров. На распиливания одной поленницы уходит дня, а на то, чтобы затем ее наколоть – дня, поэтому, на обработку x пленниц будет затрачено и дней соответственно. Так как вся работа должна быть сделана за день, то +  1. Решая это неравенство, получим, что x  . Это означает, что наибольшее количество дров, которое можно распилить, а затем наколоть, составляет поленницы.


^ Второй способ. Заметим, что оптимальная организация работы состоит в том, чтобы работать без пауз. Так как НОК (5; 8) = 40, то найдем, за какое время (при наилучшей организации работы) рабочие напилят и наколют 40 поленниц дров. Исходя из условия, 40 поленниц дров рабочие будут 8 дней пилить и 5 дней колоть. Следовательно, всю работу они сделают за 13 дней, значит, за день они смогут полностью обработать поленницы.


3.1. Ответ. п=1.

Решение.

Разложим данное выражение на множители: n5 + n + 1 = (n5 – n2) + (n2+ n + 1) = n2(n – 1)(n2+ n + 1) + (n2+ n + 1) = (n2 + n + 1)(n3 – n2 + 1). Данное число будет простым тогда и только тогда, когда один из полученных множителей равен 1, а другой множитель – простое число. Так как n2 + n + 1  3 при всех натуральных значениях n, то n3 – n2 + 1 = 1, то есть, n2(n – 1) = 0. Это уравнение в натуральных числах имеет единственное решение: n = 1. При этом значении n первый множитель равен 3.


3.2. Ответ. 2,5.

Решение.

Проведем СK – медиану прямоугольного треугольника САМ . Так как СKВ – внешний для равнобедренного треугольника АСK, то СKВ = 30 = СВK. То есть СВ = СK = 0,5AM = 2,5.


3.3. Ответ. Изначально вырезали центральную клетку.












































































Решение.































































































































































































































































Рис.4а Рис. 4б Рис. 4в


Несложно заметить, что центральная клетка квадрата могла быть вырезана (см. рис. 4а). Докажем, что никакая другая клетка не могла быть вырезана. Для этого, раскрасим квадрат в три цвета, используя «диагональную» раскраску (см. рис. 4б). Получим 9 белых, 8 серых и 8 черных клеток. Любой прямоугольник размером 31, независимо от его расположения, будет содержать клетки трех цветов, поэтому вырезанной может оказаться только белая клетка. Для того, чтобы показать, что остальные белые клетки не являются решением задачи, еще раз используем «диагональную» раскраску, «повернув» квадрат на 90 (см. рис. 4в). В этом случае, количество клеток каждого цвета не изменится, значит, вырезанной по прежнему может быть только белая клетка, но единственной белой клеткой, сохранившей свой цвет, является центральная.


4.1. Ответ. x = 2; y = 1.

Решение.

Преобразуем данное уравнение:

(x2 – 4xy + 4y2) + (x2 – 4x + 4) + (y2 – 2y + 1) = 0 (x – 2y)2 + (x – 2)2 + (y – 1)2 = 0.

Так как каждое слагаемое в левой части принимает только неотрицательные значения, то полученное равенство выполняется тогда, и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю: (y – 1)2 = 0 y = 1; (x – 2)2 = 0 x = 2; (x – 2y)2 = 0 x = 2y. При x = 2, y = 1, последнее равенство верно.

 

4.2. Доказательство.

Первый способ. Пусть К – середина стороны АВ. Тогда, так как BK || ND и BK = ND, то KBND – параллелограмм. Следовательно, KD || BN, то есть, ВРМ = KDM.

Соединим точку М c точками N и K. Так как KDM = NAM (по трем сторонам), то KDM = MAN. Следовательно, ВРМ =MAN, что и требовалось доказать.


^ Второй способ. Так как AM = MD и BC || AD, то MAD = MDA =^ DMC. Кроме того, из равенства прямоугольных треугольников ВСN и ADN следует, что NBM = NAD.

По теореме о внешнем угле для ВМР: BPM = DMC –NBM = MAD – NAD = =^ MAN, что и требовалось доказать.

 4.3. Ответ. 6 знакомых.

Решение.

Первый способ. Выпишем в ряд всех знакомых Золотой рыбки и разделим их на части, учитывая, что все знакомые с номерами, делящимися на 4, – караси (К – карась, Р – другая рыба):

Р Р Р К Р Р | Р К Р Р Р | К Р Р Р | К Р Р Р | К Р Р Р | ... (все части, начиная с третьей, – одинаковые, но в последней части может быть и менее четырех знакомых).

Тогда в первой части караси составляют от общего количества, во второй части – , а в остальных – (в последней части может быть и больше, чем ). Из условия следует, что караси не могут составлять больше, чем от общего количества, поэтому, выписанный ряд должен ограничиться первой частью.


^ Второй способ. Из условия следует, что количество знакомых Золотой рыбки является числом вида 6n, где n – натуральное; из них: 3n щук и 2n окуней, поэтому карасей – не больше, чем n.

Пусть – количество карасей, тогда 6n = 4k + r, где . Заметим, что , так как в противном случае караси составляли бы четвертую часть от всех знакомых, что невозможно, поскольку . Кроме того, так как 6n – четное число, то и . Следовательно, r = 2, то есть, 6n = 4k + 2 3n = 2k + 1 . Так как n k, то k. При k = 0 число n не является целым, поэтому k = 1, тогда n = 1, то есть, 6n = 6.


Третий способ. Заметим, что количество знакомых Золотой рыбки не может быть кратно четырем, так как . Вместе с тем, оно должно быть чётным (так половина ее знакомых – щуки). Поэтому, количество ее знакомых должно быть числом вида , где – натуральное число (, так как в этом случае общее количество знакомых равно двум, то есть, не кратно трем). Тогда количество щук равно , количество окуней –, а количество карасей – .

Общее количество щук, карасей и окуней не превосходит общего количества знакомых, следовательно, . Так как – натуральное число, то =1, то есть общее количество знакомых равно =6.


metodika-semki-zemel-chast-2.html
metodika-semki-zemel.html
metodika-sostavleniya-i-provedeniya-prostejshih-samostoyatelnih-zanyatij-fizicheskimi-uprazhneniyami.html
metodika-swot-analiza-predpriyatiya.html
metodika-vivchennya-tvorv-rznih-zhanrv.html
metodika-zagalno-ocnki-stanu-pdprimstv-na-rinku-za-danimi-fnanansovo-zvtnost.html
  • education.bystrickaya.ru/-prisposoblenie-chelovecheskih-soobshestv-socialnih-grupp-i-otdelnih-individumov-k-menyayushimsya-prirodno-geograficheskim-i-istoricheskim-socialnim-usloviyam-zhiz.html
  • letter.bystrickaya.ru/nalogi-i-nalogovoe-planirovanie-osnovnaya-obrazovatelnaya-programma-napravlenie-podgotovki-080100-ekonomika-ukazivaetsya.html
  • spur.bystrickaya.ru/mehanizmi-na-evropejskata-politika-za-ssedstvo-sedma-ramkova-programa-na-evropejskiya-syuz-za-nauchni-izsledvaniya.html
  • urok.bystrickaya.ru/prikaz-562s-narkomata-aviacionnoj-promishlennosti-sssr-o-skorejshem-osvoenii-serijnogo-proizvodstva-il-2-25-iyunya-1941-g.html
  • control.bystrickaya.ru/enciklopediya-specij-enciklopediya-specij-izrailskoj-kuhni.html
  • testyi.bystrickaya.ru/achalnoe-srednee-i-visshee-professionalnoe-obrazovanie-aspirantura-doktorantura-povishenie-kvalifikacii-i-perepodgotovka-kadrov.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-5-klassifikaciya-sudebnih-ekspertiz-sudebnaya-ekspertiza-vgrazhdanskom-arbitrazhnom-administrativnom-iugolovnom-processe.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-2-predmet-i-metod-buhgalterskogo-ucheta-e-a-morozova-kompyuternaya-verstka.html
  • predmet.bystrickaya.ru/sabati-tairibi-nslder-nslderd-tedg-sabati-masati-blmdlk.html
  • books.bystrickaya.ru/doklad-rukovoditelya-duhovno-prosvetitelskogo-centra-imeni-prosvetitelej-slavyanskih-kirilla-i-mefodiya-doktora-pedagogicheskih-nauk-professora-kafedri-obshej.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/avtorskaya-rabota.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-43-a-p-chehov-zapisnie-knizhki-gde-ona-teper-bolshaya-doroga-i-ee-veselie-priklyucheniya.html
  • writing.bystrickaya.ru/amerikanskie-depozitnie-raspiski-i-vozmozhnosti-ih-vipusk-rossijskimi-emitentami.html
  • esse.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-uchebnoj-oznakomitelnoj-praktiki-pr-u-01-specialnost-080502-ekonomika-i-upravlenie-na-predpriyatii-gorodskogo-hozyajstva.html
  • assessments.bystrickaya.ru/chast-iii-vneklassnaya-rabota-uchebnij-plan-programma-formirovaniya-uud-programmi-otdelnih-uchebnih-predmetov-i.html
  • literatura.bystrickaya.ru/semejnie-prazdniki-umk-m-z-biboletovoj-enjoy-english-6-klass-2011-2012-uch-god.html
  • textbook.bystrickaya.ru/informaciya-ob-itogah-pervogo-mezhdunarodnogo-konkursa-tvorcheskih-rabot-obuchayushihsya-obsheobrazovatelnih-uchrezhdenij-posvyashennogo-25-letiyu-avarii-na-chernobilskoj-aes-pomni-radi-budushego.html
  • report.bystrickaya.ru/kazahstansko-tureckie-otnosheniya-v-postsovetskij-period-1991-2006-gg-07-00-03-vseobshaya-istoriya.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/v-s-churakov-predsedatel-redakcionnoj-kollegii-stranica-8.html
  • books.bystrickaya.ru/cerkovnie-zakoni-kartashev-a-v.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/sg-bogdanov-gb-dobrecov-g-b-dobrecov-32-voprosi-optimizacii-byudzhetnogo-processa-v-celyah-obespecheniya-sistemnogo.html
  • learn.bystrickaya.ru/f1-n-shmtu-701-01-ii-sapa-menedzhment-zhjes-moduldk-zhmis-ou-badarlamasi-zhne-sillabus.html
  • institute.bystrickaya.ru/glava-vosmaya-klyuch-k-uspehu-v-lyubom-dele-umenie-vesti-lyudej-za-soboj.html
  • lesson.bystrickaya.ru/nalogooblozhenie-nedvizhimosti-chast-4.html
  • bukva.bystrickaya.ru/prochee-klyuchi-tajn-.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/literatura-universalnogo-soderzhaniya-71.html
  • turn.bystrickaya.ru/poletta-lestafe-vovse-ne-vizhila-iz-uma-kak-polagali-okruzhayushie-i-uzh-konechno-razlichala-dni-nedeli-a-chto-eshe-ej-ostavalos-delat-v-etoj-zhizni-schitat-dni-stranica-6.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/tamozhennaya-poshlina-2.html
  • knigi.bystrickaya.ru/saba-zhosparlarini-lgler-malm-s-tzhribesnen-rastiran-ajtzhanova-shaizada-ahashizi.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-en-v-finansovaya-matematika-dlya-specialnosti.html
  • control.bystrickaya.ru/chast-iii-filosofiya-i-obshestvo-uchebnik-podgotovlen-kollektivom-izvestnih-rossijskih-uchenih-prepodavatelej.html
  • apprentice.bystrickaya.ru/vidi-kreditnih-uchrezhdenij-i-ih-funkcii.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/zaklyuchenii-razvitie-hudozhestvennoj-kulturi-lichnosti-v-polikulturnom-obrazovatelnom-prostranstve.html
  • uchit.bystrickaya.ru/tipovie-uchebnie-programmi-specialnoj-tehnologii-i-proizvodstvennogo-obucheniya-po-edinichnim-kvalifikaciyam-tipovie-uchebnie-plani-stranica-5.html
  • essay.bystrickaya.ru/byulleten-novih-postuplenij-v-nb-rgu-za-2-kvartal-2011-g.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.